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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
4.1.
Realizar el análisis completo de las siguientes funciones $f$ definidas por $y=f(x)$ teniendo en cuenta:
j) $f(x)=x e^{-x^{2}-x}$
- Dominio e Imagen;
- Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas;
- Extremos locales y puntos silla;
- Intervalos de crecimiento y decrecimiento;
- Graficar.
j) $f(x)=x e^{-x^{2}-x}$
Respuesta
Vamos a hacer un análisis completo de la función $f(x)=x e^{-x^{2}-x}$ siguiendo la estructura que vimos en las clases de $\textbf{Estudio de funciones}$:
$\textbf{1)}$ Identificamos el dominio de $f(x)$
En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de $f$ es todo $\mathbb{R} $
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$\textbf{2)}$ Estudiamos la existencia de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas
- Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R}$, esta función no tiene asíntotas verticales
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
$ \lim_{x \to +\infty} x e^{-x^{2}-x}$
Apa, ojo acá. Hacé bien el análisis de la situación. Fijate que tenés algo que tiende a infinito multiplicando algo que tiende a cero (el exponente de $e$ tiende a $-\infty$, eso se iba a cero!) Estamos frente a una indeterminación de tipo "0 x infinito", como vimos en una de las clases de Estudio de Funciones, podemos reescribir la expresión para poder aplicar L'Hopital (honestamente no entiendo por qué en la guía de UBA XXI estos ejercicios están antes de los de L'Hopital, no tiene sentido jaja)
Fijate que podemos reescribir $f$ de esta manera para llevarlo a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito":
$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{x^2 + x}} $
Aplicamos L'Hopital:
$ \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^{x^2 + x}(2x + 1)} = 0 $
Si hacés lo mismo para $ \lim_{x \to -\infty} x e^{-x^{2}-x} $ vas a ver que este límite también te va a dar $0$
Por lo tanto, en $y=0$ tenemos una asíntota horizontal.
$\textbf{3)}$ Calculamos \( f'(x) \):
$ f'(x) = e^{-x^2 - x} + x \cdot e^{-x^2 - x} \cdot (-2x - 1) $
$\textbf{4)}$Igualamos \( f'(x) \) a cero para obtener los "puntos críticos", nuestros candidatos a máximos y mínimos:
$ e^{-x^2 - x} + x \cdot e^{-x^2 - x} \cdot (-2x - 1) = 0 $
Acá fijate que nos conviene sacar factor común $e^{-x^2 - x}$
$ e^{-x^2 - x} [1 + x (-2x-1)] = 0 $
$ e^{-x^2 - x} [1 - 2x^2 - x] = 0 $
La función exponencial nunca es cero, por lo que solo necesitamos encontrar los valores de \( x \) para los cuales \( 1 - 2x^2 - x = 0 \). Si aplicás la fórmula resolvente, vas a llegar a que los puntos críticos son \( x = \frac{1}{2} \) y \( x = -1 \).
$\textbf{5)}$ Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) \( x < -1 \)
b) \( -1 < x < \frac{1}{2} \)
c) \( x > \frac{1}{2} \)
$\textbf{6)}$ Evaluamos el signo de \( f'(x) \) en cada uno de los intervalos:
a) Para \( x < -1 \), tomamos \( x = -2 \)
La derivada es negativa, por lo que \( f(x) \) es decreciente
b) Para \( -1 < x < \frac{1}{2} \), elegí \( x = 0 \):
La derivada es positiva, por lo que \( f(x) \) es creciente
c) Para \( x > \frac{1}{2} \), elegí \( x = 1 \):
La derivada es negativa, así que \( f(x) \) es decreciente
Con toda la información que tenemos ya podemos graficar $f(x)$. Te dejo acá abajo el gráfico hecho en GeoGebra.